Porque é que o atrator de Lorenz parece uma borboleta

A animação da página inicial não é um desenho de uma borboleta. É o sistema de Lorenz, um conjunto de três equações diferenciais ordinárias que Edward Lorenz escreveu em 1963 como modelo reduzido da convecção na atmosfera:

dx/dt = σ (y − x)
dy/dt = x (ρ − z) − y
dz/dt = x y − β z

Com os parâmetros clássicos σ = 10, ρ = 28 e β = 8/3, todas as trajetórias são puxadas para a mesma superfície fina e dobrada, e uma vez lá nunca estabilizam nem se repetem. Essa superfície é o atrator estranho e, vista do ângulo certo, tem duas asas.

De onde vêm as asas

O sistema tem três pontos fixos. A origem é uma sela: as trajetórias aproximam-se numa direção e são lançadas noutra. Os outros dois, em x = y = ±√(β(ρ−1)) e z = ρ − 1, estão no centro de cada asa. Para ρ = 28 ambos são espirais instáveis: uma trajetória gira à volta de um deles, afastando-se devagar, até atravessar a superfície que separa as duas bacias e ser entregue à outra asa. Quantas voltas dá antes de mudar é, para todos os efeitos, imprevisível. Duas trajetórias que começam a um milímetro de distância estarão em asas diferentes ao fim de uma dúzia de voltas.

O que a animação faz

Oitenta trajetórias são integradas no navegador com um passo de Runge–Kutta de quarta ordem, cada uma a arrastar uma cauda de cerca de mil pontos. De poucos em poucos segundos a integração congela, os pontos do lobo esquerdo são emparelhados com pontos amostrados numa asa esquerda e os do lobo direito com uma asa direita, ordenados pelo ângulo em torno do centro do lobo para preservar o remoinho, e a nuvem relaxa sobre a superfície das asas. Uma borboleta sólida surge, bate as asas e dissolve-se de volta no atrator de onde veio.

A correspondência lobo → asa é o essencial. O atrator já era a borboleta; a metamorfose só torna a semelhança literal por um momento.